Bình luận từ người dịch: Vấn đề ở đây là chính chúng ta đã gán cho sự vật những ý nghĩa quá quan trọng, trong khi bản thân nó lại có thể không phải thế.

~

Luật Littlewood và Luật về Tập hợp cực lớn

"Bạn có biết rằng có một luật nói rằng mỗi chúng ta có thể mong chờ một phép màu xuất hiện trong cuộc sống với xác suất 1 lần trong 1 tháng? Luật Littlewood đưa ra một mệnh đề như vậy. Được xuất bản lần đầu tiên bởi Giáo sư trường Đại học Cambridge J.E. Littlewood trong cuốn “Tạp bút của một nhà toán học”, luật này ban đầu được phát triển để lật tẩy các sự việc siêu nhiên hay huyền bí, nói về hiện tượng phép màu. Luật Littlewood liên quan trực tiếp tới Luật về Tập hợp cực lớn, phát biểu rằng khi bạn có đủ một số lượng các mẫu thử lớn cần thiết, bất kỳ điều gì có thể xảy ra. Hãy coi như nó là Định luật Murphy trong toán học.

Littlewood định nghĩa một phép màu là “một sự việc ngoài mong đợi có ý nghĩa đặc biệt xuất hiện ở tần suất 1/1.000.000; trong khoảng thời gian mà một người hoàn toàn tỉnh táo và cảnh giác, một người sẽ trải nghiệm một vật trong mỗi giây (ví dụ như: nhìn màn hình máy tính, chạm vào bàn phím, chuột, đọc báo hay tương tự); thêm vào đó, một người thường trong trạng thái cảnh giác 8 tiếng một ngày; và kết quả là , một người sẽ, trong 35 ngày và theo những điều kiện giả thiết trên, trải nghiệm 1.008.000 sự vật”. Nếu chấp nhận định nghĩa về phép màu như trên, một người có thể hy vọng rằng mình sẽ được chứng kiến phép màu trong mỗi 35 ngày hoặc tương tự thế. Tức là, phép màu thực ra chẳng màu nhiệm lắm như ý tưởng ban đầu! Với quá nhiều người trải nghiệm quá nhiều sự việc trong quá nhiều ngày, điều này có vẻ như không những logic, mà còn ít “kỳ bí” hơn những thứ dẫn dắt chúng ta tới sự tôn sùng tôn giáo, những thứ bắt chúng ta phải quỳ lạy, van nài và cầu xin cho mỗi một phép màu trong cả đời người.

Một lần nữa, tác giả của cuốn sách này không thể kiểm chứng tính hiệu quả của luật trên trong đời sống của chúng ta, nhưng Luật về Tập hợp Cực lớn lại có thể cho phép xảy ra những sự trùng lặp đáng ngạc nhiên, ví dụ như ai đó trúng giải xổ số 3 lần trong 3 năm. Dù sao cũng có rất nhiều nghiên cứu có thể giúp chúng ta giải thích làm thế nào việc này xảy ra được. Một trong những nghiên cứu đáng chú ý nhất được viết bởi hai nhà thống kê học Stephen Samuels và George Mc Cabe ở trường Đại học Purdue, sau khi tờ New York Times đăng một bài về một người phụ nữ trúng số 2 lần liền, gây ra rất nhiều sửng sốt. Theo nghiên cứu của họ, cơ hội cho một ai đó trung xổ số 2 lần thật ra chạy từ 1 đến 30 lần trong khoảng thời gian 4 tháng, và còn cao hơn trong một khoảng thời gian 7 tháng. Chẳng có gì là sửng sốt cả. Điều này là hoàn toàn có thể nếu người chơi mua thật nhiều vé số mỗi tuần, và làm tăng đáng kể cơ hội trúng giải của mình.

Với hơn 6 tỉ người trên hành tinh này, cơ hội xảy ra chuyện một ai đó, thậm chí có thể là 10 triệu ai-đó, sẽ mơ chính x ác những gì bạn mơ tối nay là rất cao. Có thể họ sẽ ăn tối y như bạn. Hay sinh cùng ngày cùng tháng cùng năm với bạn. Số lượng các mẫu thử càng lớn, xác suất xuất hiện của các ‘sự kiện trùng lặp’ càng cao, và chúng ta có thể kinh hoàng nhận ra rằng có thể hàng triệu người khác cũng cùng trải qua một sự kiện như vậy, và họ đều có thể chia sẻ một ‘sự trùng lặp đầy ý nghĩa’ như v ậy, và đều cho là sự kiện đó chỉ xảy ra với mỗi mình mình.

Do đó, theo luật Littlewood và Luật về Tập hợp Cực lớn, mỗi chúng ta có thể trải nghiệm một thứ gì đó đáng ngạc nhiên, các sự kiện trùng lặp, một số có thể là phép màu, vào mỗi ngày. Những việc trên có thể bao gồm việc nhìn thấy đồng hồ số chỉ 11 :11 hay để ý sự lặp đi lặp lại của số 23 trong 1 ngày, đặc biệt khi trí óc của ta lấy một vài sự kiện trùng lặp trải nghiệm làm mẫu và tạo ra các hình mẫu khác xung quanh chúng, thổi phồng tầm quan trọng và sắp xếp để chính chúng ta nhìn thấy chúng xuất hiện nhiều hơn."

Luật Benford

Hãy thử xét một tập hợp các số liệu bất kỳ bạn nghĩ tới, ví dụ như độ dài của các dòng sông trên thế giới, dân số ở các làng ở Peru, hay các con số trong bảng kê khai thuế của Bill Clinton. Lấy một mẫu về các tập hợp số  nói trên và nhìn vào số đầu tiên (bỏ qua số 0). Và đếm có bao nhiêu số bắt đầu với 1, bao nhiêu số bắt đầu với 2, và 3.. cứ thế.

Bạn có thể đoán rằng, kết quả của việc đếm sẽ là: số các số có chữ số bắt đầu  khác nhau đều có số lượng bằng nhau, và tỉ lệ xuất hiện của các số bắt đầu  với một chữ số bất kỳ giữa 1 đến 9 là 1/9. Đúng không? Bạn chắc chưa?

Sai. Việc phân phối các số đầu tiên không bằng nhau, và thực tế, chữ số thường được bắt đầu nhất là số 1, và chữ số bắt đầu ít nhất là 9. TIn hay không thì tùy, có  hẳn một công thức để mô tả việc đó, một định luật. Luật Benford, hay còn gọi là “Luật Chữ số Thứ nhất”. Về cơ bản, luật này phát biểu rằng một tập hợp danh sách các số liệu được lấy ra từ các nguồn thực tế sẽ tuân theo một dạng nhất định về xác suất của các chữ số đầu tiên.
Nhà toán học – thiên văn học người Mỹ-Canada Simon Newcomb (1835 – 1909) được ghi nhận như người đầu tiên để ý tới định luật đáng kinh ngạc này. Ông đã nhắc tới nó ở một nghiên cứu năm 1881 “Ghi chép về Tần suất sử dụng các Chữ số khác nhau trong Các số tự nhiên.” Trong khi như quan sát của Newcomb là rất quan trọng,  thì chính nhà vật lý Frank Benford vào năm 1938, sau khi xem các mẫu dạng khác nhau trong nghiên cứu cá nhân, mới là người ghép 2 với 2 làm 4. Ông đã thu thập rất nhiều loại số liệu, kể cả các địa chỉ của 342 người đầu tiên được ghi trong Các nhà khoa học Mỹ. Trong phân tích của mình, ông tìm ra có khoảng 30% con số bắt đầu với 1, 18% với 2, và cứ thế.  Định luật này cũng có thể lặp lại với các tập hợp dữ liệu khác,  ví dụ như kết quả trận bóng chày, tỉ lệ tử vong, giá cổ phiếu, địa chỉ nhà, và hóa đơn điện, nhưng ngay cả Benford cũng không thể giải thích tại sao nó lại như thế.

Hãy tiến nhanh tới năm 1961, khi nhà toán học người Mỹ Roger Pinkham xem xét lại vấn đề này. Pinkhaym tin rằng có khả năng để giải thích cho định luật này. Ông phỏng đoán rằng trên thực tế có một luật về “tần suất chữ số”, và gợi ý rằng luật này được áp dụng cho toàn vũ trụ, bất kể chữ số kia được biểu thị dưới dạng nào, dù là giá đồng đô la ở Drachma, hay đo bằng inch, bit lượng tử hay mét. Pinkham gọi đây là “tỉ lệ bất biến” trên toàn vũ trụ, và là người đầu tiên chỉ ra rằng luật Benford, thực tế là, tỉ lệ bất biến. Điều này cũng đúng. Nếu có một quy luật nào về tần suất của các chữ số là một tỉ lệ bất biến, quy luật đó hẳn là luật Benford.

Luật Benford trong Bảng 10 chỉ ra tỉ lệ phần trăm của chữ số đầu tiên từ 1 đến 9.
1 - 30.1 %
2 – 17.6 %
3 – 12.5%
4 – 9.7 %
5 – 7.9 %
6 – 6.7 %
7 – 5.8 %
8 – 5.1 %
9 – 4.6 %
Các thí nghiệm xa hơn với luật Benford đã được thực hiện trên tất cả các số liệu kinh doanh và các tỉ lệ quay vòng hàng năm cho tới các hằng số vật lý cơ bản, nhưng luật này cũng có những hạn chế của nó. Các con số không được là ngẫu nhiên, như kết quả xổ số (xin lỗi nhé!) và không thể quá hạn chế khi tập hợp các xác suất là quá hạn hẹp. Vì thế, khi bạn không thể dùng nó để chọn ra kết quả xổ số 50 triệu đô Power Lotto tuần tới, bạn có thể dùng luật Benford theo nhiều cách quan trọng khác.

Các nhà nghiên cứu dùng luật Benford để tìm ra các số liệu giả mạo trong kê khai thuế và dữ liệu tài chính (bản kê khai thuế của Bill Clinton được nghiên cứu bởi giáo sư kế toán Tiến sĩ Mark Nigrini, ông đã dùng luật này và, thật đáng ngạc nhiên, không có bất kỳ sự gian lận nào bị tìm thấy!); cũng như nhiều ứng dụng  hữu dụng khác, như kiểm tra sự bất quy tắc trong các cuộc thử nghiệm thuốc hay xác thực các mô hình biểu đồ dữ liệu.
Cũng như tất cả những điều tốt đẹp khác, luật này cũng có giới hạn nhất định.  Cho dù nó không thể áp dụng vào một tập hợp các số nhất định nào đó, nhưng đây là một ví dụ thú vị về một công thức toán học có thể được sử dụng để giải thích cho những thứ có vẻ như là các “tình huống bí ẩn” liên quan đến sự xuất hiện của một chữ số trong một tập hợp dữ liệu lớn.

- - -

Phần sau tôi sẽ viết một chút lý giải về hành vi của đám đông: Tai sao lại có quá nhiều người cổ vũ cho những quan niệm sai lầm và không chịu sửa? Hoặc viết tiếp về chuyện phép màu trong các tài liệu khác - tùy hứng